【題目】如圖,在幾何體中,四邊形是矩形, 平面, . , 分別是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求與平面所成角的正切值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)
【解析】試題分析:
(I)做出輔助線,由題意可證得結(jié)合線面平行的判斷定理可得平面.
(II)由題意建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得與平面所成角的正切值是.
試題解析:
(Ⅰ)證明:取中點(diǎn),連接.在中, 分別是線段的中點(diǎn),所以且;又在矩形中, 且,故且,四邊形是平行四邊形, 面, 面,所以平面.
(Ⅱ)方法一:如圖,把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)以等腰直角三角形為底面的直三棱柱.由于,所以與平面所成角即為與平面所成角.
又面,所以為與平面所成角的平面角.
. 與平面所成角的正切值.
解法二:如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別為軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則.所以,
又平面,所以平面的法向量可為.
設(shè)與平面所成角為, ,
所以與平面所成角的正切值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬訂的價(jià)格進(jìn)行試銷得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量y(件) | 92 | 82 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程 .其中 =250
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(I)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元每件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),潛水員下潛的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間,每單位時(shí)間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為(升).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若 ,求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí),總用氧量最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)= 的定義域集合是A,函數(shù)g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的定義域集合是B.
(1)求集合A,B.
(2)若A∪B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元,如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元,則他的滿意度為 ;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元,則他的滿意度為 .如果一個(gè)人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為h1和h2 , 則他對這兩種交易的綜合滿意度為 .現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為mAm元和mB元,甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h甲 , 乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h乙 .
(1)求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達(dá)式;當(dāng)mA= mB時(shí),求證:h甲=h乙;
(2)設(shè)mA= mB , 當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少?
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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足: , .為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證:對任意正整數(shù),有;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對任意,總存在正整數(shù),使得時(shí), .
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【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái)),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬元)滿足 ,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請完成下列問題:
(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入﹣總成本);
(2)要使工廠有盈利,求產(chǎn)量x的范圍;
(3)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈[2,4].
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的定義證明:
(2)求f(x)在[2,4]上的最值.
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【題目】如圖,設(shè)橢圓: 的離心率為, 分別為橢圓的左、右頂點(diǎn), 為右焦點(diǎn),直線與的交點(diǎn)到軸的距離為,過點(diǎn)作軸的垂線, 為上異于點(diǎn)的一點(diǎn),以為直徑作圓.
(1)求的方程;
(2)若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,證明:直線與圓相切.
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