Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1，問(wèn)：在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)；②解（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），

（2）點(diǎn)處的切線的斜率為1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)可知：g′(1)＜0，g′(2)＜0，g′(3)＞0，于是可求m的范圍．

（1）由知：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

（2）由得

，.

,

∵函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，

∴有兩個(gè)不等實(shí)根且至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)

又∵函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，且，

由得，在上單調(diào)遞減，

所以；，

由，解得；

綜上得：所以當(dāng)m在內(nèi)取值時(shí)，對(duì)于任意，函數(shù)，在區(qū)間上總存在極值.