Question

16．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b，且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$，構(gòu)造方程，可解得實(shí)數(shù)a，b的值，根據(jù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)法，可證得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b，且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$．
∴2+2^a+b=$\frac{5}{2}$，2²+2^2a+b=$\frac{17}{4}$，
即a+b=-1，2a+b=-2，
解得：a=-1，b=0，
故f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，理由如下：
∵f′（x）=ln2•2^x+ln$\frac{1}{2}$•2^-x，
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．