Question

已知數(shù)列滿足：其中，數(shù)列滿足：
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer 1

（1）（2）（3）的取值集合是

解析試題分析：(1)先由遞推公式求出 
再用遞推公式求出 ；
(2)由  
兩式相減可得 即： ,于是結(jié)合（1）的結(jié)論可得 .
(3)對于這類問題通常的做法是假設 的值存在,由（1）的結(jié)果知，
或 ,接下來可用數(shù)學歸納法證明結(jié)論成立即可.
試題解析：（1）經(jīng)過計算可知：
.
求得.                               （4分）
（2）由條件可知：.       ①
類似地有：.       ②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故

所以：.                               （8分）
（3）假設存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).
則由（2）可知：       ③
由，及可知.
當時，為整數(shù)，利用，結(jié)合③式，反復遞推，可知，，，， 均為整數(shù).
當時，③變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/4/eskdb1.png" style="vertical-align:middle;" />     ④
我們用數(shù)學歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)
時，結(jié)論顯然成立，假設時結(jié)論成立，這時為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，所以時，命題成立.
故數(shù)列是整數(shù)列.
綜上所述，的取值集合是.                             （14分）
考點：1、數(shù)列的遞推公式；2、數(shù)學歸納法.