Question

15．圓柱的表面積為S，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的底面半徑為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{S}{3π}}$
• B． $\sqrt{3πS}$
• C． $\frac{{\sqrt{6πS}}}{6π}$
• D． $3π\(zhòng)sqrt{6πS}$

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的高為h、底面半徑為r，根據(jù)圓柱的表面積可得rh=$\frac{S}{2π}$-r²，構(gòu)造V關(guān)于r的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)想最值，并求V取到最大值時(shí)r的值，可得答案．

解答 解：設(shè)圓柱的高為h、底面半徑為r，
則圓柱的表面積S=2πr²+2πrh=S，即rh=$\frac{S}{2π}$-r²，
∴V=πr²h=πr（$\frac{S}{2π}$-r²）=π（$\frac{S}{2π}$r-r³），
V′=π（$\frac{S}{2π}$-3r²）=0⇒r=$\sqrt{\frac{S}{6π}}$，
∴函數(shù)在區(qū)間（0，$\sqrt{\frac{S}{6π}}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\sqrt{\frac{S}{6π}}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴r=$\sqrt{\frac{S}{6π}}$時(shí)，V最大，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓柱的表面積公式與體積公式，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及利用函數(shù)思想求最值，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解答本題的關(guān)鍵，一元三次函數(shù)求最值常用導(dǎo)數(shù)法．