Question

14．已知直線l：y=kx-3k+2與曲線C：（x-1）²+（y+1）²=4（-1≤x≤1），當(dāng)直線l與曲線C相切時，k的值為$\frac{5}{12}$，當(dāng)直線l與曲線C只有一個公共點時，k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]∪{$\frac{5}{12}$}．

Answer 1

分析 曲線表示一個半圓，直線經(jīng)過定點A（3，2）．由圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，求出當(dāng)直線經(jīng)過點（1，1），（1，-3）時，實數(shù)k的取值，即可求得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：曲線C：（x-1）²+（y+1）²=4（-1≤x≤1），表示以C（1，-1）為圓心、半徑r=2的半圓（圓位于直線x=1的上方（含直線x=1）．
l：y=kx-3k+2經(jīng)過定點A（3，2）．
由圓心到直線的距離等于半徑可得$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=$\frac{5}{12}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點（1，1）時，直線的斜率為$\frac{2-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點（1，-3）時，直線的斜率為$\frac{2+3}{3-1}$=$\frac{5}{2}$
綜上所述，當(dāng)直線l與曲線C相切時，k的值為$\frac{5}{12}$，當(dāng)直線l與曲線C只有一個公共點時，k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]∪{$\frac{5}{12}$}．
故答案為$\frac{5}{12}$，（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]∪{$\frac{5}{12}$}．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．