如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,AA1=4,AB=2,點(diǎn)E在棱CC1上,點(diǎn)F是棱C1D1的中點(diǎn);
(Ⅰ)若E是CC1的中點(diǎn),求證:EF∥平面A1BD;
(Ⅱ)求出CE的長(zhǎng)度,使得A1-BD-E為直二面角.
分析:(I)連接CD1,由直四棱柱的性質(zhì),可得A1D1BC是平行四邊形,從而CD1∥A1B,再用三角形中位線定理證出EF∥CD1,所以EF∥A1B,最后用線面平行的判定定理,可證出EF∥平面A1BD;
(II)連接AC與BD相交于點(diǎn)O,連接A1O,EO.利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證出A1O⊥BD、EO⊥BD,從而∠A1OE就是二面角
A1-BD-E的平面角.因此要使A1-BD-E為直二面角,即∠A1OE=90°,由平幾知識(shí)可得△A1AO~△OCE,利用對(duì)應(yīng)線段成比例結(jié)合已知條件,可得當(dāng)CE的長(zhǎng)度為
3
4
時(shí),二面角A1-BD-E為直二面角.
解答:解:(I)連接CD1
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1且B1C1∥BC,B1C1=BC
∴四邊形A1D1BC是平行四邊形,可得CD1∥A1B
∵△C1CD1中,EF是中位線,∴EF∥CD1
∴EF∥A1B-----(3分)
∵EF?面ABB1A1,A1B⊆面ABB1A1
∴EF∥平面A1BD;…(6分)
(II)連接AC與BD相交于點(diǎn)O,連接A1O,EO
∵AA1⊥平面ABCD,BD⊆平面ABCD,∴BD⊥AA1
∵菱形ABCD中,AC⊥BD,AC、AA1是平面AA1C1C內(nèi)的相交直線,
∴BD⊥平面AA1C1C
∵A1O、EO⊆平面AA1C1C,∴A1O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角,
因此,要使A1-BD-E為直二面角,即∠A1OE=90°,可得∠A1OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC,結(jié)合∠A1AO=∠OCE=90°,得△A1AO~△OCE.
設(shè)CE=x,所以
AA1
OC
=
OA
CE
,…(*)
∵四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形,AB=2
∴AO=OC=
1
2
AC=
3
,
又因?yàn)锳A1=4,代入(*)可得
4
3
=
3
x
,解之得x=
3
4

∴當(dāng)CE的長(zhǎng)度為
3
4
時(shí),二面角A1-BD-E為直二面角.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題給出底面為菱形的直四棱柱,證明直線與平面平行并探求了平面與平面成直角的問(wèn)題,著重考查了線面平行的判定和面面垂直的定義,以及二面角的平面角求法等知識(shí),屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖:直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為V,點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA′和CC′上,AP=C′Q,則四棱錐B-APQC的體積為
 

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(1)證明:BD⊥EF;
(2)當(dāng)CF=
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CC1時(shí),求面BEF與底面ABCD所成二面角的正弦值;
(3)多面體AE-BCFB1的體積V是否為常數(shù)?若是,求這個(gè)常數(shù),若不是,求V的取值范圍.

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(2012•房山區(qū)二模)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,E為棱CD的中點(diǎn).
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(Ⅱ)求證:平面AED1⊥平面CDD1

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(1)求證:無(wú)論E在任何位置,都有A1E⊥BD
(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得A1-BD-E為直二面角,并說(shuō)明理由.
(3)試確定點(diǎn)E的位置,使得四面體A1-BDE體積最大.并求出體積的最大值.

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