Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當(dāng)時(shí)，方程f（x）=b恰有三個(gè)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，是否存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)的定義域與值域均為[m，n]，若存在請(qǐng)求出所有可能的區(qū)間[m，n]，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若a＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出m，n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

解：（1）設(shè)g（x）=4x²-x-b（x≥）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=，
∵，∴g（x）在[，+∞）上單調(diào)增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=，
∵，∴g（x）在（-∞，）上單調(diào)增；g（x）在[，）上單調(diào)減；
要使方程f（x）=b恰有三個(gè)根，只須g（）=-2（）²+-b=-b＞0，∴b＜
g（）=-2（）²+-b=-b＜0，∴b＞
∴；
（2）當(dāng)m＜n≤時(shí)，f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，所以，所以m=n，矛盾；
當(dāng)m≤≤n＜時(shí)，n=f（）=，矛盾；
當(dāng)m≤＜≤n時(shí)，n≥＞＞f（m），故f（x）在區(qū)間[m，n]上的最大值在[，n]上取到
∵f（x）在[，n]上單調(diào)遞增，∴n=f（n），∴n=
又，故，所以f（x）在區(qū)間[m，n]上的最小值在上取到．
又f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，故m=f（m），∴m=0
故
當(dāng)時(shí)，由x∈，知，，矛盾．
當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．故，矛盾
當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，故，得，矛盾．
綜上所述，即存在區(qū)間滿足條件．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的圖象如右，
要使得函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（m，n）內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在處取得；
f（a）=a²，在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)，函數(shù)值為a²時(shí)，所以；
，而在區(qū)間（a，+∞）內(nèi)函數(shù)值為時(shí)，所以．…..（12分）
分析：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而要使方程f（x）=b恰有三個(gè)根，只須g（）＞0，g（）＜0，從而可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論；
（3）要使函數(shù)在（m，n）上既有最大值又有最小值，則最小值在x=a處取得，最大值在處取得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．