Question

13．已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅．若存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由a₇=a₆+2a₅求出公比q，正項等比數(shù)列$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁可得a_n•a_m=16a₁，利用等比中項的性質(zhì)可得m，n的關(guān)系，“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，即可求$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值．

解答 解：由{a_n}是正項等比數(shù)列，a₇=a₆+2a₅，
可得：q²=q+2，
解得：q=2或a=-1（舍去）
∵$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁
∴可得：a_n•a_m=16a₁=${q}^{4}•{{a}_{1}}^{2}=（{q}^{2}{a}_{1}）^{2}={{a}_{3}}^{2}$．
∴m+n=6．
則$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}=1$，
那么：（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}$）=$\frac{9m}{6n}+\frac{n}{6m}$+$\frac{1}{6}$$+\frac{9}{6}$$≥2\sqrt{\frac{9m}{6n}×\frac{n}{6m}}+\frac{5}{3}$=$\frac{8}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)3m=n時取等號．
故得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為：$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的運用，變形計算能力以及“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題．