5.有一橢圓形溜冰場,長軸長100m,短軸長60m.現(xiàn)要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形區(qū)域,且使這個區(qū)域的面積最大,應(yīng)把這個矩形的頂點定位在何處?這時矩形的周長是多少?

分析 分別以橢圓的長軸、短軸各自所在的直線為x軸和y軸,如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)矩形ABCD的各頂點都在橢圓上.利用矩形與橢圓的對稱性可得:矩形ABCD關(guān)于原點O及x軸、y軸都對稱.由已知可得:橢圓的方程為 $\frac{x^2}{{{{50}^2}}}+\frac{y^2}{{{{30}^2}}}=1$.設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x0,y0),x0>0,y0>0,可得$y_0^2=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}({50^2}-x_0^2)$,根據(jù)矩形ABCD的對稱性,可知它的面積S=4x0y0.代入利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得:${x}_{0}^{2}{y}_{0}^{2}$的最大值,即可得出.

解答 解:分別以橢圓的長軸、短軸各自所在的直線為x軸和y軸,如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)矩形ABCD的各頂點都在橢圓上.
因為矩形的各頂點都在橢圓上,而矩形是中心對稱圖形,又是以過對稱中心且垂直其一邊的直線為對稱軸的軸對稱圖形,
所以矩形ABCD關(guān)于原點O及x軸、y軸都對稱.
已知橢圓的長軸長2a=100(m),短軸長2b=60(m),
則橢圓的方程為 $\frac{x^2}{{{{50}^2}}}+\frac{y^2}{{{{30}^2}}}=1$.
設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x0,y0),x0>0,y0>0,
則$\frac{x_0^2}{{{{50}^2}}}+\frac{y_0^2}{{{{30}^2}}}=1$,得$y_0^2=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}({50^2}-x_0^2)$,
根據(jù)矩形ABCD的對稱性,可知它的面積S=4x0y0
由$x_0^2y_0^2=x_0^2•\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}({50^2}-x_0^2)=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}(-x_0^4+{50^2}x_0^2)=\frac{{{{30}^2}}}{{{{50}^2}}}[-{(x_0^2-\frac{{{{50}^2}}}{2})^2}+\frac{{{{50}^4}}}{4})$
因此,當(dāng)$x_0^2=\frac{{{{50}^2}}}{2}$時,$x_0^2y_0^2$達到最大值,同時S=4x0y0也達到最大值.
這時${x_0}=25\sqrt{2},{y_0}=15\sqrt{2}$.
矩形ABCD的周長為$4({x_0}+{y_0})=4(25\sqrt{2}+15\sqrt{2})=160\sqrt{2}$(m).
因此在溜冰場橢圓的短軸兩側(cè)分別畫一條與短軸平行且與短軸相距$25\sqrt{2}$m(約35.35m)的直線,這兩條直線與橢圓的交點就是所劃定的矩形區(qū)域的頂點;這個矩形區(qū)域的周長為$160\sqrt{2}$m(約等于226.27m).

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、矩形的對稱性面積、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
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