某同學(xué)用《幾何畫板》研究橢圓的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1,在橢圓上任意畫一個點S,度量點S的坐標(biāo)(xs,ys),如圖1.
(1)拖動點S,發(fā)現(xiàn)當(dāng)xs=
2
時,ys=0;當(dāng)xs=0時,ys=1,試求橢圓C1的方程;
(2)該同學(xué)知圓具有性質(zhì):若E為圓O:x2+y2=r2(r>0)的弦AB的中點,則直線AB的斜率kAB與直線OE的斜率kOE的乘積kAB•kOE為定值.該同學(xué)在橢圓上構(gòu)造兩個不同的點A、B,并構(gòu)造直線AB,再構(gòu)造AB的中點E,經(jīng)觀察得:沿著橢圓C1,無論怎樣拖動點A、B,橢圓也具有此性質(zhì).類比圓的這個性質(zhì),請寫出橢圓C1的類似性質(zhì),并加以證明;
(3)拖動點A、B的過程中,如圖2發(fā)現(xiàn)當(dāng)點A與點B在C1在第一象限中的同一點時,直線AB剛好為C1的切線l,若l分別與x軸和y軸的正半軸交于C,D兩點,求三角形OCD面積的最小值.
分析:(1)由已知中當(dāng)xs=
2
時,ys=0;當(dāng)xs=0時,ys=1,求得a,b的值,進而得到橢圓的方程.
(2)證法1:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程后兩式相減,可得結(jié)論;
證法2:聯(lián)立直線AB:y=kx+b與橢圓C1
x2
2
+y2=1
的方程,用韋達定理可得結(jié)論;
(3)當(dāng)點A無限趨近于點B時,割線AB的斜率就等于橢圓上的B的切線的斜率k,即k•kOB=-
1
2
,k=-
x2
2y2
,求出切線QB方程,進而可得三角形OCD面積的表達式,利用基本不等式可得答案.
解答:解:(1)∵當(dāng)xs=
2
時,ys=0;當(dāng)xs=0時,ys=1,
∴a=
2
,b=1
C1
x2
2
+y2=1
-------------------------------------------------------------(3分)
(2)若A,B為橢圓C1
x2
2
+y2=1
上相異的兩點,E(x0,y0)為A,B中點,
當(dāng)直線AB的斜率kAB與直線OE的斜率kOE的乘積kOE•kAB必為定值;-----------(5分)
證法1:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x12
2
+y12=1--(1)
x22
2
+y22=1--(2)

(2)-(1)得:
(x2+x1)(x2-x1)
2
+(y2+y1)(y2-y1)=0

∵僅考慮斜率存在的情況
∴x0+2y0•kAB=0?kOEkAB=-
1
2
---------------(9分)
證法2:設(shè)AB:y=kx+b與橢圓C1
x2
2
+y2=1
聯(lián)立得:(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,x1+x2=-
4kb
1+2k2

所以x0=-
2kb
1+2k2
y0=
b
1+2k2
kOE=
y0
x0
=-
1
2k
kOEkAB=-
1
2
-----(9分)
(3)當(dāng)點A無限趨近于點B時,割線AB的斜率就等于橢圓上的B的切線的斜率k,
k•kOB=-
1
2
,k=-
x2
2y2

所以點B處的切線QB:y-y2=-
x2
2y2
(x-x2)?
x2
2
x+y2y=1

令x=0,yD=
1
y2
,令y=0,xC=
2
x2
,
所以S△OCD=
1
x2y2

又點B在橢圓的第一象限上,所以x2>0,y2>0,
x22
2
+y22=1

1=
x22
2
+y22≥2
x22
2
y22
=
2
x2y2

S△OCD=
1
x2y2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)
x22
2
=y22?x2=
2
y2=1

所以當(dāng)B(1,
2
2
)
時,三角形OCD的面積的最小值為
2
(沒寫等號成立扣1分)---(14分)
點評:本題考查的知識點是橢圓的簡單性質(zhì),直線與圓錐曲線的關(guān)系,基本不等式,是一個綜合性強,運算量大的解析幾何綜合題,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省畢業(yè)班質(zhì)量檢查文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點,度量點的坐標(biāo),如圖.

(Ⅰ)拖動點,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,,試求拋物線的方程;

(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點為,焦點為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點,構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點,構(gòu)造直線.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點,恒有.請你證明這一結(jié)論.

(Ⅲ)為進一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點,度量點的坐標(biāo),如圖.

(Ⅰ)拖動點,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,,試求拋物線的方程;

(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點為,焦點為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點,構(gòu)造直線分別交準(zhǔn)線于、兩點,構(gòu)造直線、.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點,恒有.請你證明這一結(jié)論.

(Ⅲ)為進一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點,度量點的坐標(biāo),如圖.

(Ⅰ)拖動點,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,,試求拋物線的方程;

(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點為,焦點為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點、,構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點,構(gòu)造直線、.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點,恒有.請你證明這一結(jié)論.

(Ⅲ)為進一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.

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