Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0、b∈R），若f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（-1）=0 求得b=a+1．再根據(jù)△≤0，且a＞0，求得a和b的值．
（2）由于g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的圖象的對(duì)稱軸方程為x=

k-2

2

，結(jié)合題意可得

k-2

2

≤-2，或

k-2

2

≥2，從而求得k的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得f（-1）=a-b+1=0，即b=a+1．
再根據(jù)△=b²-4a=（a-1）²≤0，且 a＞0，
求得a=1，b=2．
（2）由（1）可得f（x）=x²+2x+1，故g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的圖象的對(duì)稱軸方程為x=

k-2

2

．
再由當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，可得

k-2

2

≤-2，或

k-2

2

≥2，
求得k≤-2，或 k≥6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．