【題目】如圖,已知圓O外有一點P,作圓O的切線PM,M為切點,過PM的中點N,作割線NAB,交圓于A、B兩點,連接PA并延長,交圓O于點C,連續(xù)PB交圓O于點D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
【答案】
(1)證明:∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點,
∴MN2=PN2=NANB,
∴ ,
又∵∠PNA=∠BNP,
∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.
∵MC=BC,
∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP
(2)證明:∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.
∵△APM∽△ABP,
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圓O的切線,
∴∠PMA=∠MCP,
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,
∴四邊形PMCD是平行四邊形
【解析】(1)由切割線定理,及N是PM的中點,可得PN2=NANB,進而 ,結(jié)合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,則∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的補角相等可得∠MAP=∠PAB,進而得到△APM∽△ABP(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圓O的切線,可證得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率為3,求a的值;
(Ⅱ)若對于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a),
記h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù),若對任意x∈(0,+∞),都有 ,則 的值是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某石化集團獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權(quán),集團在該地區(qū)隨機初步勘探了部分幾口井,取得了地質(zhì)資料.進入全面勘探時期后,集團按網(wǎng)絡(luò)點來布置井位進行全面勘探,由于勘探一口井的費用很高,如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見如表:
(參考公式和計算結(jié)果:
, , , )
(1)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為,求的值,并估計的預(yù)報值.
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井,若通過1,3,5,7號并計算出的, 的值(, 精確到0.01)相比于(1)中的, ,值之差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?
(3)設(shè)出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,
.
(1)證明: ;
(2)若直線與平面所成角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】100名學(xué)生報名參加A、B兩個課外活動小組,報名參加A組的人數(shù)是全體學(xué)生人數(shù)的 ,報名參加B組的人數(shù)比報名參加A組的人數(shù)多3,兩組都沒報名的人數(shù)是同時報名參加A、B兩組人數(shù)的 多1,求同時報名參加A、B兩組人數(shù)( )
A.36
B.13
C.24
D.27
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點。
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(2)已知點在橢圓C上,點A、B是橢圓C上不同于P、Q的兩個動點,且滿足: 。試問:直線AB的斜率是否為定值?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2.正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標(biāo)為.
(1)求點A,B,C,D的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.
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