Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-mx+1，若g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=f（x）-nx+2，若h（x）在[-1，1]上的最小值是1，求實數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)y=ax²+bx+c，滿足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
所以拋物線的頂點坐標(biāo)是（-1，-1），與x軸相交于（-2，0），（0，0），把三點坐標(biāo)代入函數(shù)的表達(dá)式，列出方程組，解出各系數(shù)則可．
（2）由于g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)對稱軸在區(qū)間的左側(cè)或區(qū)間的右側(cè)，建立不等式-

2-m

2

≤-1或-

2-m

2

≥1，解出m即可；
（3）通過討論n的取值，確定函數(shù)在區(qū)間[-1，1]的單調(diào)性，進而得到h（x）在[-1，1]上的最小值是1，建立方程，解出n即可．

解答：解：（1）由于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1，
則f（-1）=-1，
故實數(shù)a，b，c滿足的關(guān)系式為

4a+2b+c=0 c=0   a+b+c=-1

，
解得a=1，b=-2，c=0．
故這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x．
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-mx+1，則g（x）=（-x）²-2（-x）-mx+1=x²+（2-m）x+1，
可得函數(shù)g（x）的對稱軸為x=-

2-m

2

，
由于g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
則-

2-m

2

≤-1或-

2-m

2

≥1，解得 m≤0或m≥4，
故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）．
（3）設(shè)h（x）=f（x）-nx+2，則h（x）=x²-2x-nx+2=x²-（2+n）x+2，
可得函數(shù)h（x）的對稱軸為x=1+

n

2

，
①當(dāng)n≥0時，則1+

n

2

≥1，故函數(shù)h（x）=x²-（2+n）x+2在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
則h（x）_min=h（1）=1-（2+n）+2=1-n=1，解得n=0；
②當(dāng)n≤-4時，則1+

n

2

≤-1，故函數(shù)h（x）=x²-（2+n）x+2在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)，
則h（x）_min=h（-1）=1+（2+n）+2=5+n=1，解得n=-4；
③當(dāng)-4＜n＜0時，則-1＜1+

n

2

＜1，故函數(shù)h（x）=x²-（2+n）x+2在區(qū)間[-1，1+

n

2

]上為減函數(shù)，
在區(qū)間[1+

n

2

，1]上為增函數(shù)，
則h（x）_min=h（1+

n

2

）=（1+

n

2

）²-（2+n）（1+

n

2

）+2=1，
解得n=0或n=-4，故當(dāng)-4＜n＜0時，n無解；
綜上可知，實數(shù)n的值為0或4．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法以及正確討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．