【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中,垂直平分,垂足為,是面積為的等邊三角形,,,平面,垂足為,為線段的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:
(1)要證線面垂直,一般先證線線垂直,這可由和是等邊三角形及O是AB中點(diǎn)易得;
(2)要求直線與平面所成的角,一種方法作出線面角的平面角,然后解三角形得結(jié)論,也可建立空間直角坐標(biāo)系,如解析中的坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出直線的方向向量與平面的法向量,由方向向量與法向量的夾角與直線和平面所成角互余可得.
試題解析:
(1)證明:∵垂直平分,垂足為,∴.
∵,∴是等邊三角形.
又是等邊三角形.
∴是中點(diǎn),,.
∵,,平面,∴平面.
(2)解:由(1)知,平面平面.
因?yàn)槠矫?/span>與平面的交線為.
∵平面.∴.
又等邊面積為,∴
又,∴ 是中點(diǎn).
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則
,取,則,.
即平面的一個法向量為.
所以與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地公共電汽車和地鐵按照里程分段計價,具體如下表:
乘公共電汽車方案 | 10公里(含)內(nèi)2元; 10公里以上部分,每增加1元可乘坐5公里(含) |
乘坐地鐵方案 | 6公里(含)內(nèi)3元; 6公里至12公里(含)4元; 12公里至22公里(含)5元; 22公里至32公里(含)6元; 32公里以上部分,每增加1元可乘坐20公里(含) |
已知在一號線地鐵上,任意一站到站的票價不超過5元,現(xiàn)從那些只乘坐一號線地鐵,且在站出站的乘客中隨機(jī)選出120人,他們乘坐地鐵的票價統(tǒng)計如圖所示.
(Ⅰ)如果從那些只乘坐一號線地鐵,且在站出站的乘客中任選1人,試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率;
(Ⅱ)已知選出的120人中有6名學(xué)生,且這6名學(xué)生中票價為3、4、5元的人數(shù)分別為3,2,1人,現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人,求這2人的票價和恰好為8元的概率;
(Ⅲ)小李乘坐一號線地鐵從地到站的票價是5元,返程時,小李乘坐某路公共電汽車所花交通費(fèi)也是5元,假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為公里,試寫出的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在x=2處取得極值,求的極大值;
(2)若對成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于集合和常數(shù),定義:為集合相對的“余弦方差”.
(1)若集合,,求集合相對的“余弦方差”;
(2)求證:集合相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值,并求此定值;
(3)若集合,,,相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值,求出、.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足:①對于任意的都有成立;②當(dāng)時,;③;則不等式的解集為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三課外興趣小組為了解高三同學(xué)高考結(jié)束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,情況如下表:
打算觀看 | 不打算觀看 | |
女生 | 20 | b |
男生 | c | 25 |
(1)求出表中數(shù)據(jù)b,c;
(2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān);
(3)為了計算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種,我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題:在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學(xué)中有5名男生、2名女生來自高三(5)班,從中推選5人接受校園電視臺采訪,請根據(jù)上述方法,求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩位同學(xué)玩游戲,對于給定的實(shí)數(shù),按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實(shí)數(shù):由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣,如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上,則把乘以2后再減去6;如果出現(xiàn)一個正面朝上,一個反面朝上,則把除以2后再加上6,這樣就可得到一個新的實(shí)數(shù),對實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作,又得到一個新的實(shí)數(shù),當(dāng)時,甲獲勝,否則乙獲勝,若甲勝的概率為,則的取值范圍是____.
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