Question

已知傾斜角為

π

4

的直線l過點(diǎn)P（-2，-4），與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，試求此拋物線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：傾斜角為

π

4

的直線l過點(diǎn)P（-2，-4），可得直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．代入拋物線方程y²=2px（p＞0）可得：t2-(2

2

p+8

2

)t+32+8p=0，設(shè)A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．可得根與系數(shù)，由于|PA|=t₁，|PB|=t₂，|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2p2+8p

．及|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，即可得出．

解答： 解：∵傾斜角為

π

4

的直線l過點(diǎn)P（-2，-4），
∴直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．
代入拋物線方程y²=2px（p＞0）可得：t2-(2

2

p+8

2

)t+32+8p=0，
設(shè)A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．
則t₁+t₂=2

2

p+8

2

，t₁t₂=32+8p．
∴|PA|=t₁，|PB|=t₂．
|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2p2+8p

．
∵|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，
∴4（2p²+8p）=t₁t₂=32+8p，
化為p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．
∴拋物線的方程為：y²=2x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線的參數(shù)方程、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．