如圖所示,四邊形為直角梯形,,,為等邊三角形,且平面平面,,為中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)在內(nèi)是否存在一點(diǎn),使平面,如果存在,求的長(zhǎng);如果不存在,說(shuō)明理由.
(1)參考解析;(2);(3),
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意,由于三角形ABE是等邊三角形,所以以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),表示出向量AB與向量DE,并求出兩個(gè)向量的數(shù)量積為零,所以?xún)蓚(gè)向量垂直,及對(duì)應(yīng)的兩條直線垂直.
(2)平面與平面垂直關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量,再根據(jù)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值等于銳二面角的余弦值.
(3)用待定系數(shù)的方法,假設(shè)存在該點(diǎn)Q,要滿(mǎn)足平面,只需要向量PQ,與平面內(nèi)任一兩條直線所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可,從而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即線段PQ的長(zhǎng).
試題解析:(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié),
因?yàn)椤?/span>是正三角形,所以.
因?yàn)樗倪呅?/span>是直角梯形,,,
所以四邊形是平行四邊形,,
又,所以 .
所以平面,
所以.
(2)【解析】
因?yàn)槠矫?/span>平面,
,所以平面,
所以.
如圖所示,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
則,,,,.
所以 ,,
設(shè)平面的法向量為,則
,
令,則,.所以.
同理求得平面的法向量為,設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則
.
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
(3)【解析】
設(shè),因?yàn)?/span>,
所以,,.
依題意即
解得 ,.
符合點(diǎn)在三角形內(nèi)的條件.
所以,存在點(diǎn),使平面,此時(shí).
考點(diǎn):1.空間坐標(biāo)系的建立.2.平面與平面所成的角.3.直線與平面垂直.4.代數(shù)運(yùn)算能力.5.向量的數(shù)量積.6.相應(yīng)的公式.
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若,且,則下列不等式中,恒成立的是
A. B.
C. D.
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在空間直角坐標(biāo)系中,已知,.若,則 .
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過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是 .
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直線與圓相交所得的弦的長(zhǎng)為( )
(A) (B) (C) (D)
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如圖,長(zhǎng)方體中,是邊長(zhǎng)為的正方形,與平面所成的角為,則棱的長(zhǎng)為_______;二面角的大小為_______.
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某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積等于( )
A. B. C. D.
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若圓與圓外切,則的值為_______.
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三棱錐的頂點(diǎn)為P,PA,PB,PC為三條棱,且PA,PB,PC兩兩垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,則三棱錐P-ABC的體積是 .
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