如圖，已知三棱錐P－ABC是正三棱錐，求證：

(1)它的各個(gè)側(cè)面與底面所成的角相等；

(2)正三棱錐底面積與側(cè)面積S之比是各個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值．

答案：
解析：

　　證明：(1)因三棱錐P－ABC是正三棱錐，故頂點(diǎn)P在底面上的射影O是底面正△ABC的中心，如圖，連結(jié)AO、BO、CO，并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D、E、F三點(diǎn)．

　　∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，OD＝OE＝OF．

　　又∵PO⊥BC，∴BC⊥面PAD∴BC⊥PD

　　∴∠PDA就是側(cè)面PBC與底面ABC所成二面角的平面角．

　　同理，∠PEB、∠PFC分別是另兩個(gè)側(cè)面與底面所成二面角的平面角．

　　可證得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO，

　　∴∠PEB＝∠PFC＝∠PDA

　　(2)由∠PEB＝∠PFC＝∠PDA，

　　∴cos∠PEB＝cos∠PFC＝cos∠PDA，

　　即cos∠PEB＝．

　　∴cos∠PEB＝．

　　思路分析：(1)本題首先要作出各個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角．以側(cè)面PBC為例，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD、AD，則易證BC⊥PD，BC⊥AD，從而∠PDA就是側(cè)面PBC與底面ABC所成二面角的平面角．(2)注意側(cè)面△PBC與其在底面上的投影△OBC是底邊相等的三角形，且它們的高同在Rt△PDO中，且比例恰為側(cè)面與底面所成角的余弦值，從而易得其面積的比例關(guān)系．


提示：

我們把△BOC稱作△PBC在底面上的射影三角形．若把射影△BOC的面積記作，△PBC的面積記作S，兩個(gè)三角形所在平面夾角為，則可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：cos＝．運(yùn)用這個(gè)結(jié)論，可以解決二面角的平面角特別是圖形中無(wú)棱的二面角的平面角的探求問題(在解答題中，一般需先給予證明)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，D是AB的中點(diǎn)，且PA=1，AN=BN=CN=
2
．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）求異面直線CD與PB所成角的大�。�
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長(zhǎng)為2
2
．
（1）畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積；
（2）求三棱錐P-ABC體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC的側(cè)面PAB是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，PC=BC=AC=2，PB=2
2
．
（1）證明：AB⊥平面PCD；
（2）求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為4
2
的等邊三角形，又PA=PB=2
6
，PC=2
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（I）證明平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

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