Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．
（Ⅰ）當(dāng)k＞

1

2

時(shí)，判斷f(x)在(-1，+∞)上的單調(diào)性；
（Ⅱ）討論f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．知f（x）定義域是（-1，+∞），…（1分）f′(x)=2x+

k

x+1

=

2x2+2x+k

x+1

，由此能導(dǎo)出f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

≥0，f（x）無極值點(diǎn)．當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，由2x²+2x+k=0，解得x=

-1- 1-2k

2

為極大值點(diǎn)，x=

-1+ 1-2k

2

為極小值點(diǎn)；當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，f（x）無極值點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．
∴f（x）定義域是（-1，+∞），…（1分）
函數(shù)f′(x)=2x+

k

x+1

=

2x2+2x+k

x+1

①…（2分）
當(dāng)k＞

1

2

時(shí)，①式分子的△=4-8k=4（1-2k）＜0，
∴2x²+2x+k＞0，又x+1＞0，
所以f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

＞0，
∴f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．  …（5分）
（Ⅱ）當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，由（Ⅰ）知f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

≥0，
f（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)遞增，
故f（x）無極值點(diǎn)．…（6分）
當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，由2x²+2x+k=0，
解得x=

-1± 1-2k

2

，
又

-1- 1-2k

2

＞-1，
所以當(dāng)-1＜x＜

-1- 1-2k

2

或x＞

-1+ 1-2k

2

時(shí)，
f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

＞0；
當(dāng)

-1- 1-2k

2

＜x＜

-1+ 1-2k

2

時(shí)，
f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

＜0．…（8分）
因此f（x）在(

-1- 1-2k

2

 ， 

-1+ 1-2k

2

)上單減，
在(-1， 

-1- 1-2k

2

)和(

-1+ 1-2k

2

 ， +∞)上單增，…（10分）
因此x=

-1- 1-2k

2

為極大值點(diǎn)，x=

-1+ 1-2k

2

為極小值點(diǎn)．…（11分）
綜上所述，當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，x=

-1- 1-2k

2

為極大值點(diǎn)，x=

-1+ 1-2k

2

為極小值點(diǎn)；
當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，f（x）無極值點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和極值點(diǎn)的討論，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用．