Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)$\frac{1}{12}$π＜x＜$\frac{11}{12}$π，且方程f（x）=m有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍和這兩個根的和．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和直線y=m（m∈R）的圖象，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象的特征，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)m的取值范圍和這兩個根的和．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，可得A=2，
根據(jù)$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，求得ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和直線y=m（m∈R）的圖象，
由圖可知，當(dāng)-2＜m＜0或$\sqrt{3}$＜m＜2時，直線y=m與曲線有兩個不同的交點，即原方程有兩個不同的實數(shù)根．
∴m的取值范圍為：-2＜m＜0或$\sqrt{3}$＜m＜2； 
當(dāng)-2＜m＜0時，兩根和為$\frac{4π}{3}$； 當(dāng)$\sqrt{3}$＜m＜2時，兩根和為$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象的特征，屬于中檔題．