Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-1，x∈R．
（1）求證：f（x）≥-x²+x；
（2）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{f（x）}{x}＞k$對任意的x∈（0，+∞）恒成立，令$ϕ（x）=\frac{f（x）}{x}，x＞0$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 證明：（1）令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
由g'（x）=e^x-1=0得x=0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（0）=0，從而f（x）≥-x²+x；
解：（2）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立
?$\frac{f（x）}{x}＞k$對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令$ϕ（x）=\frac{f（x）}{x}，x＞0$，
∴$ϕ'（x）=\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}=\frac{{x（{e^x}-2x）-（{e^x}-{x^2}-1）}}{x^2}=\frac{{（x-1）（{e^x}-x-1）}}{x^2}$，
由（1）可知當(dāng)x∈（0，+∞）時，e^x-x-1＞0恒成立，
令φ'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0得0＜x＜1，
∴φ（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴k＜φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴實數(shù)k的取值范圍為（-∞，e-2）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．