【題目】如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐O-ABCD中,BC⊥平面OAB,E為OB中點(diǎn),OA=AD=2AB=2,OB=.
(1)求證:平面OAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-AC-E的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)已知條件,判斷出OA⊥BC與OA⊥AB,進(jìn)而判斷平面和平面的垂直。
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩個(gè)平面的法向量,進(jìn)而利用兩個(gè)平面的法向量求出兩個(gè)平面的二面角大小。
(1)證明∵BC⊥平面OAB,OA平面OAB,
∴OA⊥BC.又OA=2AB=2,OB=,
在△OAB中,OA2+AB2=OB2,
∴OA⊥AB,∴OA⊥平面ABCD.
又OA平面OAD,∴平面OAD⊥平面ABCD.
(2)解由(1)知OA,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB,AO所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,則A(0,0,0),C(2,1,0),O(0,0,2),B(0,1,0),E=(2,1,0),.
設(shè)平面AEC的法向量n=(x,y,z),
則
取x=1,得n=(1,-2,1).
又平面ABC的法向量m=(0,0,1),
cos<m,n>=.
∴二面角B-AC-E的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).
求證:CD⊥平面PAE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量 , , 的模分別為1,1, , 與 的夾角為α,且tanα=7, 與 的夾角為45°.若 =m +n (m,n∈R),則m+n= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線,設(shè)圓的半徑為1, 圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為正方形,PD=DC=2,E,F,G分別是AB,PB,CD的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥DC;
(2)求證:GF∥平面PAD;
(3)求點(diǎn)G到平面PAB的距離.
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)2的正方形,E,F(xiàn)分別為線段DD1,BD的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面ABC1D1;
(2)AA1=2,求異面直線EF與BC所成的角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),在軸上的射影恰為橢圓的左焦點(diǎn),與中心的連線平行于右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的連線,且左焦點(diǎn)與左頂點(diǎn)的距離等于,試求橢圓的離心率及其方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列中,在直線.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(ⅰ)求;
(ⅱ)是否存在整數(shù)λ,使得不等式(-1)nλ< (n∈N)恒成立?若存在,求出λ的取值的集合;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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