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(2013•北京)已知{an}是由非負整數組成的無窮數列,該數列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an+1,an+2…的最小值記為Bn,dn=An-Bn
(Ⅰ)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個周期為4的數列(即對任意n∈N*,an+4=an),寫出d1,d2,d3,d4的值;
(Ⅱ)設d是非負整數,證明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數列;
(Ⅲ)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.
分析:(Ⅰ)根據條件以及dn=An-Bn 的定義,直接求得d1,d2,d3,d4的值.
(Ⅱ)設d是非負整數,若{an}是公差為d的等差數列,則an=a1+(n-1)d,從而證得dn=An-Bn=-d,
(n=1,2,3,4…).若dn=An-Bn=-d,(n=1,2,3,4…).可得{an}是一個不減的數列,
求得dn=An-Bn=-d,即 an+1-an=d,即{an}是公差為d的等差數列,命題得證.
(Ⅲ)若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項不能等于零,再用反證法得到{an}的項不能超過2,
從而證得命題.
解答:解:(Ⅰ)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個周期為4的數列,∴d1=A1-B1=2-1=1,
d2=A2-B2=2-1=1,d3=A3-B3=4-1=3,d4=A4-B4=4-1=3.
(Ⅱ)充分性:設d是非負整數,若{an}是公差為d的等差數列,則an=a1+(n-1)d,
∴An=an=a1+(n-1)d,Bn=an+1=a1+nd,∴dn=An-Bn=-d,(n=1,2,3,4…).
必要性:若 dn=An-Bn=-d,(n=1,2,3,4…).假設ak是第一個使ak-ak-1<0的項,
則dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak>0,這與dn=-d≤0相矛盾,故{an}是一個不減的數列.
∴dn=An-Bn=an-an+1=-d,即 an+1-an=d,故{an}是公差為d的等差數列.
(Ⅲ)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),首先,{an}的項不能等于零,否則d1=2-0=2,矛盾.
而且還能得到{an}的項不能超過2,用反證法證明如下:
假設{an}的項中,有超過2的,設am是第一個大于2的項,由于{an}的項中一定有1,否則與d1=1矛盾.
當n≥m時,an≥2,否則與dm=1矛盾.
因此,存在最大的i在2到m-1之間,使ai=1,此時,di=Ai-Bi=2-Bi≤2-2=0,矛盾.
綜上,{an}的項不能超過2,故{an}的項只能是1或者2.
下面用反證法證明{an}的項中,有無窮多項為1.
若ak是最后一個1,則ak是后邊的各項的最小值都等于2,故dk=Ak-Bk=2-2=0,矛盾,
故{an}的項中,有無窮多項為1.
綜上可得,{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.
點評:本題主要考查充分條件、必要條件的判斷和證明,等差關系的確定,用反證法和放縮法證明數學命題,
屬于中檔題.
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