Question

2．已知函數(shù)g（x）=lnx和函數(shù)f（x）=-x²+（a+1）x-$\frac{1}{4}$a²（其中a＜0）．
（Ⅰ）求g（log₂10•lg2）的值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值，設(shè)函數(shù)h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），討論函數(shù)h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得到所求值；
（II）對(duì)x和a的范圍進(jìn)行討論，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值判斷f（x），g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得出h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）g（log₂10•lg2）=g（$\frac{1}{lg2}$•lg2）=g（1）=ln1=0；
（Ⅱ）①當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=0，
所以1為g（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
f（1）=a-$\frac{1}{4}$a²，
由于a＜0，則f（1）＜0，
所以當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）=max{f（x），g（x）}有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上無零點(diǎn)．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是f（x）在（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)a＜0時(shí)，△=（a+1）²-a²=2a+1，f（0）=-$\frac{1}{4}$a²＜0，f（1）＜0，
當(dāng)2a+1＜0，即a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）無零點(diǎn)；
當(dāng)2a+1=0，即a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）的零點(diǎn)為$\frac{1}{4}$；
當(dāng)2a+1＞0即-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，由于f（0）＜0，f（1）＜0，即h（x）無零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，x=1，h（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）無零點(diǎn)；
a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．