Question

已知點P到兩個定點M（-1，0）、N（1，0）距離的比為

2

，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）設出點P的坐標為（x，y），由題設有

|PM|

|PN|

=

2

，代入兩點間的距離公式后整理得答案；
（2）由點N到PM的距離為1，結合|MN|=2可得∠PMN=30°，從而求得直線PM的斜率，寫出直線PM的方程．聯立直線方程和圓的方程求得P的坐標，然后由直線方程的兩點式求得直線PN的方程．

解答： 解：（1）設點P的坐標為（x，y），由題設有

|PM|

|PN|

=

2

，
即

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

．
整理得x²+y²-6x+1=0；
（2）∵點N到PM的距離為1，|MN|=2，
∴∠PMN=30°，直線PM的斜率為±

3

3

，
直線PM的方程為y=±

3

3

(x+1)．
聯立

y=- 3 3 (x+1) x2+y2-6x+1=0

，整理得x²-4x+1=0．
解得x=2±

3

．
代入y=-

3

3

(x+1)，得點P的坐標為(2+

3

，-1-

3

)或(2-

3

，1-

3

)；
聯立

y= 3 3 (x+1) x2+y2-6x+1=0

，求得點P的坐標為(2+

3

，1+

3

)或(2-

3

，-1+

3

)．
∴直線PN的方程為y=x-1或y=-x+1．

點評：本題考查了圓的標準方程的求法，考查了直線和圓的位置關系，訓練了由直線上的兩點坐標求直線方程，是中檔題．