Question

已知函f（x）=In（ax+1）+

1

2

x2-

x

a

+b（a，b為常數(shù)，a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程y=2，求a、b的值；
（2）當(dāng)b=2時(shí)若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

，由已知f′‘（0）=0可求a，然后由切線方程可求切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求b
（II）由f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

=

ax2+a- 1 a

ax+1

，通過判斷f′（x）的符合求解函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的最小值，結(jié)合已知即可求解a的范圍

解答：解（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

由題意可得，f′（0）=0
∴a-

1

a

=0
∵a＞0
∴a=1，
∵切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）
∴b=2
（II）∵f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

=

ax2+a- 1 a

ax+1

∵x≥0，x＞0
∴ax+1＞0
（1）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立
故f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）_min=f（0）=2，符合題意
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0可得，x＞

1-a2

a

；由f′（x）＜0可得0≤x＜

1-a2

a

∴f（x）在區(qū)間[0，

1-a2

a

）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（

1-a2

a

，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（

1-a2

a

）=，而f（0）=2不合題意
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的判斷中的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)的簡單綜合