Question

（1）研究函數(shù)f（x）=lnx-x的單調(diào)區(qū)間與極值．
（2）試探究f（x）=lnx-ax（a∈R）單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，在定義域下令導函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
（2）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）f′（x）=-1=，
令f′（x）＜0得x＞1
令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函數(shù)f（x）=lnx-x的單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）．
∴f（x）在x=1處取得極大值-1，無極大值．
（2）f′（x）=-a…（2分）
（Ⅰ）∵x＞0，所以當a≤0時，f′（x）=-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)…（4分）
當a＞0時，f（x）在（0，）上f′（x）=-a＞0，f（x）在（，+∞）上f′（x）=-a＜0，
故f（x）在（0，）上是增函數(shù)，f（x）在（，+∞）上是減函數(shù)．
點評：本題主要考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應該先求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．