Question

(本題滿分13分)

已知函數(shù)是上的偶函數(shù)．

（1）求的值;

（2）設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，以及函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性的合理運(yùn)用．

（1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，可知f(-x)=f(x),列方程得到參數(shù)k的值。

（2）函數(shù)圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么則有方程只有一個(gè)實(shí)根，那么轉(zhuǎn)換化歸可知參數(shù)a的范圍。

解：（1）由函數(shù)是偶函數(shù)可知：

  ……………………………………………………2分

 即對(duì)一切恒成立  ……………………………………4分

 ………………………………………………………………………………………5分

（2）函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

即方程有且只有一個(gè)實(shí)根 …………………………7分

化簡(jiǎn)得：方程有且只有一個(gè)實(shí)根          

令，則方程有且只有一個(gè)正根 …………………………9分

①，不合題意； ……………………………………………………………10分

②或 ………………………………………………………………………11分 

若，不合題意；若  ……………………………………12分

③一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即     

綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是…………………………………………………13分