Question

11．已知f（x）=$\frac{m}{x}$，g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，且對(duì)任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁．
（1）判斷g（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性；
（2）設(shè)集合A={x|f（x）=2，x＞2}，證明：A=∅．

Answer 1

分析 （1）g（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合已知中對(duì)任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁可證明結(jié)論；
（2）由（1）可得x＞2時(shí)，g（x）＞g（2）恒成立，即m≤4，故x＞2時(shí)，f（x）=$\frac{m}{x}$＜$\frac{4}{2}$=2恒成立，進(jìn)而證得A=∅．

解答 解：（1）g（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，理由如下：
∵對(duì)任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁．
∴f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
∴$\frac{m}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{m}{{x}_{2}}$+x₂，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}+m}{{x}_{1}}$＞$\frac{{{x}_{2}}^{2}+m}{{x}_{2}}$，
故對(duì)任意x₁＞x₂≥2，都有g(shù)（x₁）＞g（x₂），
故g（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
證明：（2）由（1）得，x＞2時(shí)，g（x）＞g（2）恒成立，
∴$\frac{{x}^{2}+m}{x}$＞2+$\frac{m}{2}$在x＞2時(shí)恒成立，
即m＜2x在x＞2時(shí)恒成立，
∴m≤4，
∴x＞2時(shí)，f（x）=$\frac{m}{x}$＜$\frac{4}{2}$=2恒成立，
∴集合A={x|f（x）=2，x＞2}=∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，難度中檔．