Question

【題目】已知函數(shù)， .

(1)如果對(duì)任意， 恒成立，求的取值范圍；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

(3)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）分離參數(shù)后變?yōu)?/span>，對(duì)恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可；（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可求出k的取值范圍；（3）由（2）知：不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)， ，利用導(dǎo)數(shù)可證得即，因?yàn)?/span>，故，再根據(jù)的單調(diào)性，可證出結(jié)論.

試題解析：

（1）對(duì)， 恒成立

，對(duì)恒成立

令，則，

易知： 在上遞減，在上遞增.

， 的取值范圍是

（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

由 （1）知，

（3）證明：由（2）知：不妨設(shè)，

則， ，即

令，

，即為增函數(shù)

，即

因?yàn)?/span>，故

由，得

由（1）知在上遞減，

故，即：