【題目】如圖所示,A,B分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左右頂點,F為其右焦點,2|AF||FB|的等差中項,|AF||FB|的等比中項.P是橢圓C上異于A,B的任一動點,過點A作直線l⊥x.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點A,M,連接FM交直線l于點Q.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問在x軸上是否存在一個定點N,使得直線PQ必過該定點N?若存在,求出點N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意,用a、c表示出|AF|、|FB,再根據(jù)等差中項與等比中項定義求出a、b、c,進(jìn)而求得橢圓方程。

(2)假設(shè)存在這樣的定點。設(shè)出動點P,P再橢圓上,用x0表示y0,再表示出FM的方程,聯(lián)立FM與直線,得交點Q,進(jìn)而求得過定點的坐標(biāo)。

(1)由題意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,

解得a=2,c=1,b2=4-1=3.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)假設(shè)在x軸上存在一個定點N(n,0),使得直線PQ必過定點N(n,0).

設(shè)動點P(x0,y0),由于P點異于A,B,y0≠0,

由點P在橢圓上,故有=1,

.

又由(1)A(-2,0),F(1,0),

∴直線AP的斜率kAP=.

又點M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點,APFM.

kAP·kMF=-1kMF=-=-.

∴直線FM的方程y=-(x-1).

聯(lián)立FM,l的方程

得交點Q.

P,Q兩點連線的斜率kPQ=,

將①式代入②式,并整理得kPQ=,

P,N兩點連線的斜率kPN=.

若直線QP必過定點N(n,0),則必有kPQ=kPN恒成立,,

整理得4=-3(x0+2)(x0-n),

將①式代入③式,=-3(x0+2)(x0-n),解得n=2,故直線PQ過定點(2,0).

練習(xí)冊系列答案
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(2)若從學(xué)生甲的6次培訓(xùn)成績中隨機(jī)選擇2個,記選到的分?jǐn)?shù)超過87分的個數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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