【題目】已知函數(shù)
(1)當a=0時,求f(x)的極值.
(2)當a≠0時,若f(x)是減函數(shù),求a的取值范圍;

【答案】
(1)解:∵

當a=0時,f(x)=2x﹣lnx,則

∴x,f'(x),f(x)的變化情況如下表

∴當 時,f(x)的極小值為1+ln2,函數(shù)無極大值


(2)解:由已知,得 ,且x>0,則

∵函數(shù)f(x)是減函數(shù)

∴f'(x)≤0對x>0恒成立,即不等式 對恒成立

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

解得a≤﹣1,即a的取值范圍是(﹣∞,﹣1]

另解: 對x>0恒成立,即 對x>0恒成立,即


【解析】求函數(shù)的定義域(0,+∞)(1)把a=0代入求導,研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值.(2)由題意可得f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f′(x)在(0,+∞)的最大值小于(等于)0,進而求解,也可利用二次函數(shù)的圖象及根的分布問題求解.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習冊系列答案
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(B)求證: .

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