【題目】已知函數(shù)
(1)當a=0時,求f(x)的極值.
(2)當a≠0時,若f(x)是減函數(shù),求a的取值范圍;
【答案】
(1)解:∵
當a=0時,f(x)=2x﹣lnx,則
∴x,f'(x),f(x)的變化情況如下表
∴當 時,f(x)的極小值為1+ln2,函數(shù)無極大值
(2)解:由已知,得 ,且x>0,則
∵函數(shù)f(x)是減函數(shù)
∴f'(x)≤0對x>0恒成立,即不等式 為 對恒成立
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得
解得a≤﹣1,即a的取值范圍是(﹣∞,﹣1]
另解: 對x>0恒成立,即 對x>0恒成立,即
【解析】求函數(shù)的定義域(0,+∞)(1)把a=0代入求導,研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值.(2)由題意可得f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f′(x)在(0,+∞)的最大值小于(等于)0,進而求解,也可利用二次函數(shù)的圖象及根的分布問題求解.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù)).
(1)將兩曲線化成普通坐標方程;
(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設點M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1時按均勻分布出現(xiàn),試求滿足:
(1)x+y≥0的概率;
(2)x+y<1的概率;
(3)x2+y2≥1的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F為橢圓C: + =1的右焦點,橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l:x=m的距離之比為 ,求:
(1)直線l方程;
(2)設A為橢圓C的左頂點,過點F的直線交橢圓C于D、E兩點,直線AD、AE與直線l分別相交于M、N兩點.以MN為直徑的是圓是否恒過一定點,若是,求出定點坐標,若不是請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C= . (Ⅰ)若△ABC的面積等于 ,求a,b;
(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)
(1)當, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(2)設在上有兩個極值點.
(A)求實數(shù)的取值范圍;
(B)求證: .
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