【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP為等邊三角形．

(1)當(dāng)PB長(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面ABCD?并說(shuō)明理由；

(2)若二面角大小為150°，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，平面平面，詳見解析（2）

【解析】

(1)根據(jù)平面和平面垂直可得線面垂直，從而可得,利用直角三角形知識(shí)可得的長(zhǎng)；

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，平面平面，

證明如下：在中，因?yàn)?/span>，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）分別取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，所以,

又，所以，故為二面角的平面角，所以，

如圖，分別以的方向以及垂直于平面向上的方向作為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，所以，，，.

可得，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，

即，令，

可得，

設(shè)與平面所成角為，則有

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，若直線是函數(shù)的圖象的切線，求的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】手機(jī)支付也稱為移動(dòng)支付，是指允許用戶使用其移動(dòng)終端（通常是手機(jī)）對(duì)所消費(fèi)的商品或服務(wù)進(jìn)行賬務(wù)支付的一種服務(wù)方式．隨著信息技術(shù)的發(fā)展，手機(jī)支付越來(lái)越成為人們喜歡的支付方式．某機(jī)構(gòu)對(duì)某地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否使用手機(jī)支付”的情況進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取了100人，其年齡頻率分布表和使用手機(jī)支付的人數(shù)如下所示：（年齡單位：歲）

年齡段

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75]

頻率

0.1

0.32

0.28

0.22

0.05

0.03

使用人數(shù)

8

28

24

12

2

1

（1）若以45歲為分界點(diǎn)，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與年齡有關(guān)？

年齡低于45歲

年齡不低于45歲

使用手機(jī)支付

不使用手機(jī)支付

（2）若從年齡在[55，65），[65，75]的樣本中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

3.841

6.635

7.879

10.828

參考公式：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；

（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？”其意為：今有－圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該木材，鋸口深一寸，鋸道長(zhǎng)－尺.問(wèn)這塊圓柱形木材的直徑是多少？現(xiàn)有長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算該木材鑲嵌在墻體中的體積約為__________立方寸.（結(jié)果保留整數(shù)）

注：l丈＝10尺＝100寸，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年是中國(guó)成立70周年，也是全面建成小康社會(huì)的關(guān)鍵之年.為了迎祖國(guó)70周年生日，全民齊心奮力建設(shè)小康社會(huì)，某校特舉辦“喜迎國(guó)慶，共建小康”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).下面的莖葉圖是參賽兩組選手答題得分情況，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.甲組選手得分的平均數(shù)小于乙組選手的平均數(shù)B.甲組選手得分的中位數(shù)大于乙組選手的中位數(shù)

C.甲組選手得分的中位數(shù)等于乙組選手的中位數(shù)D.甲組選手得分的方差大于乙組選手的的方差

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知．（其中實(shí)數(shù)）．

（1）分別求出p，q中關(guān)于x的不等式的解集M和N；

（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

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