Question

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系可知a=1，b=0，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法可知b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由Sn=an2+bn，且a₁=1，a₂=3，
可得a=1，b=0，…（3分）
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
當(dāng)n=1時，S₁=a₁=1；
∴a_n=2n-1．…（7分）
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）…（10分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

n

2n+1

．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系求通項與裂項法求和，屬于中檔題．