Question

【題目】(2015·四川）已知函數(shù)f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中aR）.對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 設(shè)m=，n=.
現(xiàn)有如下命題：
（1）對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對(duì)于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對(duì)于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.

Answer 1

【答案】(1)(4)
【解析】設(shè)A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)), 對(duì)(1), 從y=2x的圖像可看出， m=KAB>0,恒成立， 故正確。對(duì)（2), 直線(xiàn)CD的斜率可為負(fù)， 即n<0， 故不正確。對(duì)（3），由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)， 即f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax. 則h'(x)=2xln2-2x-a. 由 h'(x)=0得， 2xln2=2x+a， 做出y=2xln2, y=2x+a的圖像可知， 方程2xln2=2x+a不一定有解， 所以h(x)不一定有極值點(diǎn)， 即對(duì)任意的a，不一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即不一定存在不相等得實(shí)數(shù)x1, x2使得m=n，故不正確。
對(duì)（4），由m=-n得f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 即f(x1)+g(x1)=f(x2))+g(x2)， 令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax. 則h'(x)=2xln2+2x+a.
h'(x)=0得， 2xln2=-2x-a， 做出y=2xln2, y=-2x-a的圖像可知， 方程2xln2=-2x-a一定有解， 所以h(x)一定有極值點(diǎn)， 即對(duì)任意的a，一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即一定存在不相等得實(shí)數(shù)x1, x2使得m=n，故不正確。
四川高考數(shù)學(xué)15題歷來(lái)是一個(gè)異彩紛呈的題，個(gè)中精彩讀者可從解析中慢慢體會(huì).解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化使問(wèn)題得以解決.