Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cosA=$\frac{2b-a}{2c}$，若f（A）-m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)即可得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案減區(qū)間，
（Ⅱ）由余弦定理或正弦定理求出即$C=\frac{π}{3}$，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+（sinx+cosx）（sinx-cosx）=$2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]$，
（Ⅱ）（法一）由 $cosA=\frac{2b-a}{2c}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$．
可得2b²-ac=b²+c²-a²即b²-c²+a²=ab．
解得cosC=$\frac{1}{2}$即C=$\frac{π}{3}$    
因?yàn)?0＜A＜\frac{2π}{3}$，所以$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
因?yàn)?f（A）-m=2sin（2A-\frac{π}{6}）-m＞0$恒成立，則$2sin（2A-\frac{π}{6}）＞m$恒成立
所以m≤-1．                       
（法二）由$cosA=\frac{2b-a}{2c}$可得2cosAsinc=2sinB-sinA=2sin（A+C）-sinA
即2sinAcosC-sinA=0，解得$cosC=\frac{1}{2}$，即$C=\frac{π}{3}$
因?yàn)?0＜A＜\frac{2π}{3}$，所以$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$
因?yàn)?f（A）-m=2sin（2A-\frac{π}{6}）-m＞0$恒成立，則$2sin（2A-\frac{π}{6}）＞m$恒成立
即m≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理和余弦定理，屬于中檔題