(2010•柳州三模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右頂點為A,右焦點為F,右準線與軸交于點B,且與一條漸近線交于點C,點O為坐標原點,又|OA|=2|OB|,
OA
OC
=2
過點F的直線與雙曲線右支交于點M、N,點P為點M關(guān)于軸的對稱點.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)證明:B、P、N三點共線.
分析:(Ⅰ)根據(jù)已知線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,表示出A,B的坐標.根據(jù)|
OA
|=2|
OB
|
以及
OA
OC
=2
,聯(lián)立求出a與c的值,然后寫出雙曲線的方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得出B,F(xiàn)的坐標,然后設(shè)出直線方程.將直線方程代入雙曲線方程,設(shè)出兩個交點的坐標,用設(shè)而不求韋達定理方法求出y1+y2,y1•y2的值,此時即可表示出
BP
,
BN
,最后根據(jù)向量共線的定義即可判定B、P、N三點共線.
解答:解:(Ⅰ)A(a,0),B (
a2
c
,0)

|
OA
|=2|
OB
|⇒ 
a2
c
=
a
2
(1)

x=
a2
c
y=
b
a
x
⇒C(
a2
c
ab
c
)
,
OA
OC
=2⇒
a2
c
=2(2)

解(1)(2)得a=2,c=4
雙曲線方程為
x2
4
-
y2
12
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
B(1,0),F(xiàn)(4,0)
設(shè)直線l的方程為x=ty+4
x2
4
-
y2
12
=1
x=ty+4
⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
P(x1,-y1)∴
y1+y2=
-24t
3t2-1
y1y2=
36
3t2-1

BP
=(x1-1,-y1),
BN
=(x2-1,y2)
(x1-1)y2-(x2-1)(-y1
=x1y2+x2y1-(y1+y2
=(ty1+4)y2+(ty2+4)y1-(y1+y2
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t
36
3t2-1
+3
-24
3t2-1
=0

所以向量
BP
BN
共線,
即B、P、N三點共線.
點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,以及雙曲線的方程.根據(jù)|
OA
|=2|
OB
|
以及
OA
OC
=2
,聯(lián)立求出a與c的值是關(guān)鍵.第二問在第一問的基礎(chǔ)上運用設(shè)而不求韋達定理方法求出y1+y2,y1•y2的值.屬于中檔題.
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