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已知函數f（x）=
x2+1
ax+b
是其定義域內的奇函數，且f（1）=2，
（1）求 f（x）的表達式；
（2）設F（x）=
x
f(x)
（ x＞0 ），求F（1）+F（2）+F（3）+…+F(2007)+F(
1
2
)+F(
1
3
)+…+F(
1
2007
)的值．
分析：（1）有意義函數f(x)=
x2+1
ax+b
是其定義域內的奇函數，且f（1）=2，由此可以建立a，b的方程聯立求解即可；
（2）有（1）可以知道F（x）的解析式；
（3）有要求的式子要先求得：F(x)+F(
1
x
)=1，進而把要求的式子分組即可得到結果．
解答：解：（1）∵f(x)=
x2+1
ax+b
是奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴
x2+1
-ax+b
=-
x2+1
ax+b
，∴b=0，
故f(x)=
x2+1
ax
，
又∵f（1）=2，∴
2
a
=2，∴a=1
∴f(x)=
x2+1
x
．

（2） 由（1）知F(x)=
x2
x2+1
（x＞0）
∴F(
1
x
)=
(
1
x
)2
(
1
x
)2+1
=
1
1+x2

∴F(x)+F(
1
x
)=1
∴F(1)+F(2)+F(3)++F(2007)+F(
1
2
)+F(
1
3
)++F(
1
2007
)
=F(1)+[F(2)+F(
1
2
)]+[F(3)+F(
1
3
)]++[F(2007)+F(
1
2007
)]
=
1
2
+2006×1
=
4013
2
．
點評：此題考查了奇函數的定義，已知函數解析式求函數值的大小，并且還考查了學生求值時的觀察的思想及學生的基本計算技能．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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