Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的第10項(xiàng)為-9，前11項(xiàng)的和為-11，
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和性質(zhì)求出d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，由公式求出前n項(xiàng)和S_n，由配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出S_n的最大值；
（2）由a_n=-2n+11對(duì)n分類討論，由前n項(xiàng)和S_n分別求出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵前11項(xiàng)的和為-11，∴${S}_{11}=\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=11{a}_{6}$=-11，
可得a₆=-1，
∵第10項(xiàng)為-9，∴d=$\frac{{a}_{10}-{a}_{6}}{4}$=-2，則a₁=9，
∴a_n=-11-2（n-1）=-2n+11，
S_n=$\frac{n（9-2n+11）}{2}$=-n²+10n=-（n-5）²+25，
∴當(dāng)n=5時(shí)，S_n取到最大值是25；
（2）由（1）得，a_n=-2n+11，
∴當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＞0，
則T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=S_n=-n²+10n，
當(dāng)n≥時(shí)，a_n＜0，
則T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）
=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-10n+50，
綜上所述：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，考查分類討論思想，化簡(jiǎn)、變形能力．