Question

6．已知點(diǎn)P（x，y）在圓C：x²+（y-1）²=1上運(yùn)動(dòng)，則 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 $\frac{y-1}{x-2}$表示圓C：x²+（y-1）²=1上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A（2，1）連線的斜率，設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線斜率為k，用點(diǎn)斜式求得圓的切線方程，由圓心（0，1）到切線的距離等于半徑求得k的值，可得 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍．

解答 解：由題意可得，則 $\frac{y-1}{x-2}$表示圓C：x²+（y-1）²=1上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A（2，1）連線的斜率，
設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y-1=k（x-2），即 kx-y-2k+1=0，
由圓心（0，1）到切線的距離等于半徑可得$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
故答案為[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．