Question

3．如圖，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)P（x，y）．
（1）求△APB的面積大于$\frac{1}{4}$的概率；
（2）求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小于1的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出滿足條件的點(diǎn)P所在的區(qū)域面積，利用幾何概型計(jì)算所求的概率；
（2）符合條件的點(diǎn)P構(gòu)成的區(qū)域是圓x²+y²=1在第一象限所圍的平面區(qū)域，利用幾何概型計(jì)算所求的概率．

解答 解：（1）如圖所示，取線段BC，AO的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，
則當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，S_△APB=$\frac{1}{4}$，
∴滿足條件的點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)榫匦蜲FEC（陰影部分）；

故所求概率為P=$\frac{{S}_{矩形OFEC}}{{S}_{正方形OABC}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）所有的點(diǎn)P構(gòu)成正方形區(qū)域D，若點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{0＜y＜1}\\{{x}^{2}{+y}^{2}＜1}\end{array}\right.$，
所以符合條件的點(diǎn)P構(gòu)成的區(qū)域是
圓x²+y²=1在第一象限所圍的平面區(qū)域如圖中陰影部分，

所以點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1的概率為P=$\frac{\frac{1}{4}•π{•1}^{2}}{{1}^{2}}$=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了幾何概型的計(jì)算問題，關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積，是基礎(chǔ)題．