Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)， 時，討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；

（2）當(dāng)時，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點， ，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，有個零點；當(dāng)時，有個零點；當(dāng)時，有個零點；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）研究函數(shù)的零點個數(shù)，本題直接研究函數(shù)的性質(zhì)，不太方便，可以進行轉(zhuǎn)化，函數(shù)的零點就是方程的解，即的解，而此方程解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點個數(shù)，而函數(shù)是一個確定的函數(shù)，不含參數(shù)，因此求出導(dǎo)數(shù)后得出它的單調(diào)性與最值后可得結(jié)論；（2）這類證明題，首先要建立極值點與參數(shù)的關(guān)系，為此求得，則是的兩根（由有兩個不同的實根，首先可得出），這樣應(yīng)有， ．兩式相減參數(shù)與的關(guān)系就出現(xiàn)了： ，要證的題設(shè)不等式就變?yōu)橐�證， （兩邊除以可得），即證，

即證，于是只要設(shè)， ．即證不等式，當(dāng)時恒成立．這可由利用導(dǎo)數(shù)的知識證明．

試題解析：（1）當(dāng)， 時，函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)即方程根的個數(shù)．

由，

令，

則在上單調(diào)遞減，這時；

在上單調(diào)遞增，這時．

所以是的極小值即最小值，即

所以函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，討論如下：

當(dāng)時，有個零點；

當(dāng)時，有個零點；

當(dāng)時，有個零點．

（2）由已知， ，

， 是函數(shù)的兩個不同極值點（不妨設(shè)），

（若時， ，即是上的增函數(shù)，與已知矛盾），

且， ．

， ．

兩式相減得： ，

于是要證明，即證明，兩邊同除以，即

證，即證，

即證，

令， ．即證不等式，當(dāng)時恒成立．

設(shè)，

．

設(shè)， ，當(dāng)， ，

單調(diào)遞減，所以，即， ，

在時是減函數(shù)． 在處取得極小值．

，得證． ．