Question

18．已知圓C過(guò)點(diǎn)O（0，0），和點(diǎn)T（1，3），且圓心在直線n：x-2y=0上，直線l：x+my-2m-1=0，m∈R，
（1）若直線n與直線l平行，求這兩條平行線間的距離；
（2）求圓C的方程；
（3）設(shè)直線l恒過(guò)定點(diǎn)A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)并判斷點(diǎn)A與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出m，利用兩條平行線間的距離公式，求這兩條平行線間的距離；
（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為（2a，a），利用兩點(diǎn)間的距離公式，建立方程，求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（3）直線l：x+my-2m-1=0，即m（y-2）+（x-1）=0，可得直線l恒過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)A與圓C的位置關(guān)系．

解答 解：（1）由題意，m=-2，直線l：x-2y+3=0，
∴兩條平行線間的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為（2a，a），
則4a²+a²=（2a-1）²+（a-3）²，∴a=1，r=$\sqrt{5}$，
∴圓C的方程（x-2）²+（y-1）²=5；
（3）直線l：x+my-2m-1=0，即m（y-2）+（x-1）=0，∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），
∵（1-2）²+（2-1）²＜5，
∴A在圓C的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程，考查直線過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．