Question

已知關于x的方程ax²-4ax+1=0的兩個實根α，β滿足不等式|lgα-lgβ|≤1，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系,對數(shù)的運算性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：運用韋達定理和判別式大于0，以及對數(shù)函數(shù)的單調性，解不等式，再令t=

α

β

，解出β=

4

1+t

，α=

4t

1+t

，

1

a

=

16t

(t+1)2

=

16

t+ 1 t +2

，再由基本不等式，即可得到a的范圍．

解答： 解：由題意可得，α，β＞0，a≠0，
則△=16a²-4a≥0，α+β=4，αβ=

1

a

＞0，
不等式|lgα-lgβ|≤1即為-1≤lg

α

β

≤1，
即有

1

10

≤

α

β

≤10，
令t=

α

β

，即有α=βt，則β=

4

1+t

，α=

4t

1+t

，

1

a

=

16t

(t+1)2

=

16

t+ 1 t +2

，
由于

1

10

≤t≤10，則t+

1

t

∈[2，

101

10

]，
則

1

a

∈[

160

121

，4]，即有

1

4

≤a≤

121

160

，
滿足判別式大于0，成立．
故答案為：[

1

4

，

121

160

]．

點評：本題考查二次方程的韋達定理和對數(shù)函數(shù)的單調性及運用：解不等式，考查運算能力，屬于中檔題．