在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n對(duì)任意n∈N*都成立.
(Ⅰ)求a2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列?說(shuō)明理由;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,求證:對(duì)任意的n∈N*,數(shù)學(xué)公式

解:(Ⅰ)∵{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴a2>a1,a2>2.
令n=1,2a1≥a2,a2≤4,
∴a2∈(2,4].(4分)
(Ⅱ)證明:數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列.
用反證法證明:
假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,a1=2>0,an=2qn-1
因?yàn)閧an}單調(diào)遞增,所以q>1.
因?yàn)閚∈N*,(n+1)an≥na2n都成立.
所以n∈N*≥qn
因?yàn)閝>1,所以?n0∈N*,使得當(dāng)n≥n0時(shí),qn>2.
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/38633.png' />(n∈N*).
所以?n0∈N*,當(dāng)n≥n0時(shí),,與①矛盾,故假設(shè)不成立.(9分)
(Ⅲ)證明:觀察:b1=c1=3,,…,猜想:bn≤cn
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),b1=3≤c1=3成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),bk≤ck成立;
當(dāng)n=k+1時(shí),
====ck+1
所以bk+1≤ck+1
根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意n∈N*,都有bn≤cn,即bn-cn≤0.
由已知得,
所以
所以當(dāng)n≥2時(shí),≤2cn-1=<12.
因?yàn)閍2<a4<12.
所以對(duì)任意n∈N*,
對(duì)任意n∈N*,存在m∈N*,使得n<2m
因?yàn)閿?shù)列{an}單調(diào)遞增,
所以,an-12<0.
因?yàn)閎n-cn≤0,
所以.(14分)
分析:(Ⅰ)根據(jù){an}為單調(diào)遞增數(shù)列,a1=2,在不等式(n+1)an≥na2n中令n=1即可求a2的取值范圍;
(Ⅱ)可用反證法證明:假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,可得an=2qn-1根據(jù){an}為單調(diào)遞增數(shù)列,可求得q>1,由(n+1)an≥na2n對(duì)任意n∈N*都成立,利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得≥qn①,因?yàn)閝>1,所以?n0∈N*,使得當(dāng)n≥n0時(shí),qn>2,從而>2,與≤2矛盾,于是可判斷數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列;
(Ⅲ)對(duì)于的分子部分,可根據(jù)b1=c1=3,結(jié)合已知條件,求得b2,c2;b3,c3通過(guò)比較兩者的大小,猜想bn≤cn.然后用數(shù)學(xué)歸納法予以證明;對(duì)于其分母,可結(jié)合條件證明an<12,從而是問(wèn)題得到解決.
點(diǎn)評(píng):本題考查反證法與放縮法,數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列與不等式的綜合,難點(diǎn)在于(Ⅱ)反證法的使用與(Ⅲ)中需分別從分子與分母兩處著手,用數(shù)學(xué)歸納法證明bn≤cn,用放縮法證明an-12<0,屬于難題.
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(1)分別計(jì)算a3,a5和a4,a6的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(將an用n表示);
(3)設(shè)數(shù)列{
1
an
}
的前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn
4n
n+2
,n∈N*

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1
2
)…(1+
1
2n
)
,cn=6(1-
1
2n
)
,求證:對(duì)任意的n∈N*,
bn-cn
an-12
≥0

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