Question

6．已知圓x²+y²=25和兩定點(diǎn)A（-5，0），B（0，$\frac{5}{2}}$）．若該圓上的點(diǎn)M滿足MA⊥MB，則直線MA的斜率是2．

Answer 1

分析 設(shè)設(shè)M（5cosθ，5sinθ），則$\overrightarrow{MA}$=（-5-5cosθ，-5sinθ），$\overrightarrow{MB}$=（-5cosθ，$\frac{5}{2}-5sinθ$），由MA⊥MB，得sinθ=2+2cosθ，由此利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出M（-3，4），由此能出直線MA的斜率．

解答 解：∵圓x²+y²=25上的點(diǎn)M，∴設(shè)M（5cosθ，5sinθ），
∵A（-5，0），B（0，$\frac{5}{2}}$），點(diǎn)M滿足MA⊥MB，
∴$\overrightarrow{MA}$=（-5-5cosθ，-5sinθ），$\overrightarrow{MB}$=（-5cosθ，$\frac{5}{2}-5sinθ$），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-5cosθ（-5-5cosθ）+（$\frac{5}{2}-5sinθ$）（-5sinθ）
=25cosθ+25cos²θ-$\frac{25}{2}sinθ$+25sin²θ
=25cosθ-$\frac{25}{2}sinθ$+25=0，
解得sinθ=2+2cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=1，∴5cos²θ+8cosθ+3=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-\frac{3}{5}}\\{sinθ=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-1}\\{sinθ=0}\end{array}\right.$（舍），
∴M（-3，4），∴k_MA=$\frac{0-4}{-5+3}$=2．
∴直線MA的斜率為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．