Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，滿足f（x）+f（x+$\frac{π}{2}}$）=0對任意的x∈R恒成立，且x=$\frac{π}{6}$為其圖象的一條對稱軸方程，則f（${\frac{11π}{4}}$）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求解，利用周期性得出ω值，根據(jù)對稱性得出φ，根據(jù)周期性得出函數(shù)f（${\frac{11π}{4}}$）=f（3π$-\frac{π}{4}$）=f（-$\frac{π}{4}$）代入求解即可．

解答 解：∵滿足f（x）+f（x+$\frac{π}{2}}$）=0對任意的x∈R恒成立，
∴f（x+π）=-f（x$+\frac{π}{2}$）=f（x）
∴周期為π，ω=2，
∵x=$\frac{π}{6}$為其圖象的一條對稱軸方程，
∴2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（${\frac{11π}{4}}$）=f（3π$-\frac{π}{4}$）=f（-$\frac{π}{4}$）=2sin（$-\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，
故答案為：$-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，計(jì)算能力，屬于容易題．