Question

（2012•順河區(qū)一模）選做題：幾何證明選講
如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AB于E．
（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
（2）求線(xiàn)段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠CDO=∠FDO，BC是的切線(xiàn)，且CF是圓D的弦，得到∠BCE=

1

2

∠CDF，即∠CDO=∠BCE，得到兩個(gè)三角形全等，得到線(xiàn)段相等，得到結(jié)論．
（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)所給的長(zhǎng)度，代入比例式，得到要求的線(xiàn)段．

解答：（1）證明：連接DF，DO，則∠CDO=∠FDO，
因?yàn)锽C是的切線(xiàn)，且CF是圓D的弦，
所以∠BCE=

1

2

∠CDF，即∠CDO=∠BCE，
故Rt△CDO≌Rt△BCE，
所以EB=OC=

1

2

AB．…（5分）
所以E是AB的中點(diǎn)．
（2）解：連接BF，
∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，
得

BF

BE

=

CB

CE

，
∵ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，
所以BF=

5

5

a．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查圓周角定理，本題解題的關(guān)鍵是得到三角形全等和三角形相似，本題是一個(gè)中檔題目．