Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，記和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)為M（A）．如當(dāng)A={1，2，3，4}時，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數(shù)b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數(shù)列，則M（B）=　　．

Answer 1

考點：

等差數(shù)列的性質(zhì)．

專題：

等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成圖表，嚴(yán)格利用題目給出的新定義，采用列舉法來進行求解即可．

解答：

解：對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數(shù)b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數(shù)列，

則 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示圖表：

b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n﹣1+b_n，

b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n﹣2+b_n，

   …，…，…，

b₁+b_n﹣2，b₂+b_n﹣1，b₃+b_n，

b₁+b_n﹣1，b₂+b_n，

b₁+b_n，

∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，

∴b₁+b₄=b₂+b₃，b1+b5=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n﹣1．

∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重復(fù)，即第二列剩余一個不重復(fù)的值，

同理，以后每列剩余一個與前面不重復(fù)的值，

∵第一列共有n﹣1個不同的值，后面共有n﹣1列，

∴所有不同的值有：n﹣1+n﹣2=2n﹣3，故M（B）=2n﹣3，

故答案為 2n﹣3．

點評：

本題的屬于新定義的創(chuàng)新題，主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，題目篇幅長，難于理解是解決這一問題的障礙，屬于中檔題．