Question

定義g（x）=f（x）-x的零點x₀為f（x）的不動點．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）
（1）當a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（2）對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）有不變號零點，且b＞1，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）g（x）=f（x）-x=x²-2x-3=0求解．（2）ax²+bx+b-1=0（a≠0）有兩個相異實根，
（2）程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有兩個相異實根，△=b²-4a（b-1）＞0對于任意實數(shù)b成立根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得；16a²-16a＜0，即可求解范圍．
（3）把函數(shù)g（x）有不變號零點，轉(zhuǎn)化為；方程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有兩個相等實根，即△=b²-4a（b-1）=0，b＞1，a=

b2

4(b-1)

，再運用函數(shù)，結(jié)合均值不等式求解．

解答： 解（1）當a=1，b=-2時，
g（x）=f（x）-x=x²-2x-3
令g（x）=0
解得：x=-1或x=3，
∴函數(shù)f（x）的不動點為-1或3，
（2）g（x）=f（x）-x=0有兩個相異實根
即方程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有兩個相異實根，
∴△=b²-4a（b-1）＞0對于任意實數(shù)b成立
即b²-4ab+4a＞0恒成立．
∴16a²-16a＜0，
∴a∈（0，1）
（3）g（x）=f（x）-x=0有兩個相等實根
即方程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有兩個相等實根，
∴△=b²-4a（b-1）=0
∵b＞1∴a=

b2

4(b-1)

令b-1=t，則b=t+1，且t＞0
∴a=

(t+1)2

4t

=

1

4

(t+

1

t

+2)
令h（t）=

1

4

(t+

1

t

+2)，
易證函數(shù)h（t）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴h（t）的最小值為h（1）=1
∴實數(shù)a的最小值是1．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，方程的根的判斷方法，綜合性強，難度大．